Baccalaurat STMG - Oral de rattrapage

Vous trouverez sur cette page un ensemble d’exercices typiques de l’oral de rattrapage de mathématiques de la série ES. Pour chaque exercice, une correction détaillée et commentée est proposée.

Informations relatives au déroulement de l’épreuve orale

• L’épreuve orale est constituée d’une préparation de 20 minutes suivie d’un entretien de la même durée.
• L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
• Le candidat ne peut utiliser que le brouillon fourni par l’examinateur.
• La qualité des raisonnements, de l’expression et la précision des justifications prendront une part importante dans l’appréciation.
• Il s’agit d’une épreuve orale, il n’est donc pas indispensable de rédiger sur votre feuille le détail de chaque réponse. Par contre, le candidat doit être capable d’apporter toutes les justifications nécessaires et demandées lors de l’interrogation orale.
• Le sujet comporte deux exercices qui doivent être traités tous les deux dans l’ordre que le candidat choisit.
• Des consignes ou des questions supplémentaires pourront être oralement proposées par l’examinateur.

Information chiffrée

On s’interesse à l’évolution du prix d’une matière première en euros par tonne depuis 2011. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, donne le prix de cette matière première entre 2011 et 2016. Le tableau présente également les indices des prix de base 100 avec pour référence l’année 2011. Dans ce tableau deux données sont manquantes.

	A	B	C	D	E	F	G
1	Année	2011	2012	2013	2014	2015	2016
2	Prix en €/tonne	\(158\)	\(163{,}6\)	\(167{,}5\)		\(179{,}5\)	\(183{,}2\)
3	Indice du Prix (base 100 en 2011)	\(\;100\;\)		\(106{,}0\)	\(109{,}1\)	\(113{,}6\)	\(115{,}9\)

1. Déterminer le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016. Arrondir à $0{,}01\%$.

   Réponse attendue

   On note $t_5$ le taux d’évolution du prix de la matière première entre 2015 et 2016.

   $t_5$	$= \dfrac{V_{2016} - V_{2015}}{V_{2015}}$
   	$= \dfrac{183{,}2 - 179{,}5}{179{,}5}$
   	$= 0{,}02061\cdots$
   	$\simeq +2{,}06\% \quad (\text{Arrondi à }0{,}01\%)$

2. Calculer le prix en euros par tonne en 2014. Arrondir au dixième.

   Réponse attendue

   $V_{2014}$	$= V_{2011} \cdot \dfrac{I_{2014}}{100}$
   	$= 158 \cdot \dfrac{109{,}1}{100}$
   	$= 172{,}37 \cdots$
   	$\simeq 172{,}4 \quad (\text{Arrondi à }0{,}1)$

3. Calculer l’indice du prix en 2012. Arrondir au dixième.

   Réponse attendue

   $I_{2012}$	$= \dfrac{V_{2012}}{V_{2011}} \cdot 100$
   	$= \dfrac{163{,}6}{158} \cdot 100$
   	$= 103{,}54 \cdots$
   	$\simeq 103{,}5 \quad (\text{Arrondi à }0{,}1)$

4. Parmi les trois formules proposées ci-dessous, quelle est la formule entrée dans la cellule $\text{C3}$ permettant d’obtenir par recopie vers la droite les indices des prix ?

   a. $\;=\$\text{C}\$2 / \text{B}2 \ast 100$

   b. $\;=\text{C}2 / \text{B}2 \ast 100$

   c. $\;=\text{C}2 / \$\text{B}\$2 \ast 100$

   Réponse attendue

   La formule juste est la formule c. En effet, la cellule $\text{B}2$ contient la valeur de 2011 qui est l’année de référence. Les calculs d’indices devant être réalisés toujours par rapport à l’année de référence, il faut “fixer” cette cellule dans la formule à l’aide des $\$$ .

5. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen sur la période 2011-2016 a été d’environ $+3\%$ arrondi à $0{,}01\%$.

   Réponse attendue

   De 2011 à 2016, il y a eu 5 évolutions annuelles. Donc :

   $t_m$	$= CM_m - 1$
   	$= CM^{\frac{1}{5}} - 1$
   	$= \left(\dfrac{V_{2016}}{V_{2011}}\right)^{\frac{1}{5}} - 1$
   	$= \left(\dfrac{183{,}2}{158}\right)^{\frac{1}{5}} - 1$
   	$= -0{,}03003 \cdots$
   	$\simeq -3{,}00\% \quad (\text{Arrondi à }0{,}01\%)$

6. En admettant que cette évolution moyenne annuelle de $+3\%$ continue les années suivantes, estimer le prix par tonne en 2017.

   Réponse attendue

   $V_{2017}$	$= V_{2016} \cdot (1 + t_m)$
   	$= 183{,}2 \cdot (1 + 0{,}03)$
   	$= 188{,}69 \cdots$
   	$\simeq 188{,}7 \quad (\text{Arrondi à }0{,}1)$

Dérivation

Partie A. Approche graphique (QCM)

On considère une fonction $f$ définie sur $[-2\,;4]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}$ est donnée dans le repère ci-dessous.

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont tangentes à $\mathscr{C}$ respectivement au point $A$ d’abscisse 1 et au point $B$ d’abscisse 2. Pour chaque question suivante déterminer la seule réponse exacte. Justifier la réponse.

• Question 1. $\,$ Le nombre $f(0)$ est égal à :

  a. $\,-1$

  b. $\,0$

  c. $\,1$

  d. $\,2$

  Réponse attendue

  La réponse vraie est la réponse b.

  En effet, la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point de coordonnées $(0\,;0)$. Donc $f(0) = 0$.

• Question 2. $\,$ Le nombre $f(1)$ est égal à :

  a. $\,-1$

  b. $\,0$

  c. $\,1$

  d. $\,2$

  Réponse attendue

  La réponse vraie est la réponse a.

  En effet, la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point de coordonnées $(1\,;-1)$. Donc $f(1) = -1$.

• Question 3. $\,$ Le nombre $f'(1)$ est égal à :

  a. $\,-1$

  b. $\,0$

  c. $\,1$

  d. $\,2$

  Réponse attendue

  La réponse vraie est la réponse b.

  En effet, tangente $(d_2)$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(1) = 0$.

• Question 4. $\,$ Le nombre $f'(2)$ est égal à :

  a. $\,-1$

  b. $\,0$

  c. $\,1$

  d. $\,2$

  Réponse attendue

  La réponse vraie est la réponse d.

  Le nombre dérivé $f'(2)$ est égal à la pente de la tangente à $\mathscr{C}$ au point $B$ s’abscisse 1, c’est-a-dire la pente de $(d_2)$.

  Justification

  On détermine graphiquement la pente de $(d_1)$. Pour cela :

  Méthode 1.

  • On repère les points de la grille situés sur la droite $(d_2)$. Ici, il s’agit du point $B$ et des points $C$ et $D$ ajoutés sur la figure ci-dessous :

  

  • On trace l’ “escalier”. Ici cet escalier a une marche horizontale de $1$ ($\Delta x = 1$) et une marche verticale de $+2$ ($\Delta y = +2$).

  Remarque.

  Attention, ici la marche verticale $\Delta y$ est positive car la droite $(d_1)$ “monte” de la gauche vers la droite. Si la droite “descendait” de la gauche vers la droite, la marche verticale serait négative.

  • On calcule la pente :

  $f'(1)\,$	$= \text{pente}(d_2)$
  	$=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
  	$= \dfrac{+2}{1}$
  	$= 3$

  Méthode 2.

  La droite $(d_2)$ passe par les points $B\,(2\,;0)$ et $C\,(3\,;2)$. Donc :

  $f'(2)\,$	$= \text{pente}(d_2)$
  	$= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
  	$= \dfrac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$
  	$= \dfrac{2 - 0}{3 - 2}$
  	$= \dfrac{2}{1}$
  	$= 2$

Partie B. Approche calculatoire

On admet dans cette partie que la fonction $f$ a pour expression $f(x) = x^2 -2x$.

1. Déterminer par le calcul les valeurs de $f(4)$, $\:f(1)$ et $f(-2)$.

   Réponse attendue

   $f(4)\,$	$= 4^2 - 2 \cdot 4$
   	$= 16 - 8$
   	$= 8$

   $f(1)\,$	$= 1^2 - 2 \cdot 1$
   	$= 1 - 2$
   	$= -1$

   $f(-2)\,$	$= (-2)^2 - 2(-2)$
   	$= 4 + 4$
   	$= 8$

2. Déterminer l’expression de $f'(x)$ et étudier son signe sur $[-2\,;4]$.

   Réponse attendue

   $f'(x)\,$	$= 2x - 2$
   	$= 2(x - 1)$

   Le polynôme du premier degré $2x - 2$ s’annule en $1$ et son coefficient dominant est $2 > 0$. On en déduit :

   

3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[-2\,;4]$.

   Réponse attendue

   Voir la réponse à la question 2.

Statistiques à deux variables

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du chiffre d’affaire (en milliards d’euros) d’une entreprise multinationale du secteur de l’énergie entre 2010 et 2015.

Année	2010	2011	2012	2013	2014	2015
Rang de l'année : \(x_i\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
Chiffre d'affaire (en milliards d'euros) : \(y_i\)	\(150\)	\(180\)	\(220\)	\(260\)	\(270\)	\(290\)

1. On a représenté ci-dessous le nuage de points correspondant aux données.

   

   À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement de $x$ en $y$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au dixième.

   Réponse attendue

   À la calculatrice on obtient :

   $a\,$	$= 28{,}85 \cdots$
   	$\simeq 28{,}9 \quad (\text{Arrondi à }0{,}1)$

   $b\,$	$= 156{,}19 \cdots$
   	$\simeq 156{,}2 \quad (\text{Arrondi à }0{,}1)$

   Donc une équation de la droite d’ajustement est : $y = 28{,}9x + 156{,}2\;$.

2. On décide d’ajuster le nuage de point par une droite $D$ d’équation $y = 29x + 156$. On a tracé cette droite sur le graphique donné à la question 1. On suppose que ce modèle d’ajustement est valable jusqu’en 2030.

   1. Quel chiffre d’affaire l’entreprise peut-elle prévoir en 2020?

      Réponse attendue

      L’année de rang $x = 0$ est 2010. Donc le rang de 2020 est :

      $x\,$	$= 2020 - 2010$
      	$=10$

      Pour $x = 10$,

      $y\,$	$= 29 \cdot 10 + 156$
      	$=290 + 156$
      	$=446$

      L’entreprise peut donc prévoir en 2020 un chiffre d’affaire de $446$ milliards d’euros.

   2. À parti de quel année le chiffre d’affaire de l’entreprise devrait dépasser $550$ milliards d’euros ?

      Réponse attendue

      On résout l’équation $y = 550$.

      	$y\,$	$= 550$
      $\iff \quad$	$29x + 156\;$	$= 550$
      $\iff \quad$	$29x\;$	$= 396$
      $\iff \quad$	$x\;$	$= \dfrac{396}{29}$
      		$\simeq 13{,}7$

      L’ entier directement supérieur à $13{,}7$ est $14$. L’année de rang $x = 14$ est $2010 + 14 = 2024\;$. Donc le chiffre d’affaire de l’entreprise devrait dépasser $550$ milliards d’euros en 2024.

      On peut vérifier simplement :

      Pour $x = 13$,

      $y\,$	$= 29 \cdot 13 + 156$
      	$=377 + 156$
      	$=533$

      Pour $x = 14$,

      $y\,$	$= 29 \cdot 14 + 156$
      	$=406 + 156$
      	$=562$

Suite géométrique avec algorithme

En 2014, une personne place $30\,000$ Euros sur un compte rémunéré au taux annuel de $2\%$, les intérêts étant composés. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme disponible au bout de $n$ années de placement. Ainsi, $u_0 = 30\,000$.

1. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1}$ en fonction de $u_n$.

   Réponse attendue

   Tous les ans la somme disponible sur le compte augmente de $t = 2\%$ donc est mutipliée par :

   $$\begin{align*} CM &= 1 + t \\ &= 1 + 0{,}02 \\ &= 1{,}02 \\ \end{align*}$$

   Donc, pour tout entier naturel $n$, $\quad u_{n + 1} = 1{,}02u_n$.

2. On considère l’algorithme ci-dessous. Interpréter la valeur affichée en sortie.

   Variables : $\quad$ $N$ est un nombre entier naturel $\quad$ $U$ est un nombre réel Initialisation : $\quad$ $N$ prend la valeur $0$ $\quad$ $U$ prend la valeur $30000$ Traitement : $\quad$ Tant que $U < 45000$ faire $\quad$ $\quad$ $U$ prend la valeur $1{,}02U$ $\quad$ $\quad$ $N$ prend la valeur $N + 1$ $\quad$ Fin tant que Sortie : $\quad$ Afficher $N$

   Réponse attendue

   L’algorithme renvoie le rang $n$ de l’année à partir de laquelle la somme disponible $u_n$ va dépasser $45\,000$ Euros.

3. En quelle année la somme initiale aura-t-elle augmenté de $50\%$ ?

   Réponse attendue

   La moitié de la somme initiale de $30\,000$ Euros est $15\,000$ Euros. Donc après une augmentation de $50\%$, la somme disponible sera égale à $45\,000$ Euros.

   On doit donc déterminer en quelle année la somme initiale aura atteint $45\,000$ Euros. Deux méthodes sont possibles. Pour cela, on code l’ algorithme dans une calculatrice. On donne ci-dessous l’algorithme précédent codé en Ti-Basic, le langage de programmation des calculatrices Texas Instrument.

   

   Après exécution, le programme affiche la valeur $21$ ce qui correspond à l’année $2014 + 21 = 2035$. Donc la somme initiale aura augmenté de $50\%$ en 2035.

   On peut vérifier simplement :

   $$\begin{align*} u_{20} &= 30\,000 \cdot 1{,}02^{20} \\ &\simeq 44\,578 \quad (\text{Arrondi à l'unité})\\ \end{align*}$$

   $$\begin{align*} u_{21} &= 30\,000 \cdot 1{,}02^{21} \\ &\simeq 45\,470 \quad (\text{Arrondi à l'unité})\\ \end{align*}$$

Probabilités conditionnelles

Dans un lycée de Bretagne, $80\%$ des élèves suivent les cours d’anglais LV1. Par ailleurs, parmi les élèves suivant les cours d’Anglais LV1, $40\%$ de ces élèves suivent les cours de Breton LV2. Finalement, parmi les élèves ne suivant pas les cours d’Anglais LV1, $70\%$ de ces élèves suivent les cours de Breton LV2.

À la sortie du lycée, on interroge au hasard un élève. On lui demande s’il suit les cours d’anglais LV1 et/ou les cours de Breton LV2.

On note les événements suivants :

• \(A\) : "L'élève interrogé suit les cours d'Anglais LV1."
• \(B\) : "L'élève interrogé suit les cours de Breton LV2."

1. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous traduisant la situation.

   
   Réponse attendue

   On complète l’arbre en respectant la loi des noeuds.

   

2. Déterminer $P(A \cap B)$. Interpréter cette probabilité.

   Réponse attendue

   $P(A \cap B)\;$	$= P(A) \cdot P_A(B)$
   	$= 0{,}8 \cdot 0{,}4$
   	$= 0{,}32$

   Donc la probabilité que l’élève interrogé suive les cours d’Anglais LV1 et les cours de Breton LV2 est de $0{,}32$. Formulation alternative. Le lycée compte $32\%$ d’élèves suivant à la fois les cours d’Anglais LV1 et les cours de Breton LV2.

3. Montrer que $P(B) = 0{,}46$. Interpréter cette probabilité.

   Réponse attendue

   On commence par calculer $P \left(\overline{A} \cap B \right)$ :

   $P \left(\overline{A} \cap B \right)\,$	$= P \left(\overline{A} \right) \cdot P_A(B)$
   	$= 0{,}2 \cdot 0{,}7$
   	$= 0{,}14$

   Et ensuite, d’après la formule des probabilités totales :

   $P(B)\,$	$= P(A \cap B) + P \left(\overline{A} \cap B \right)$
   	$= 0{,}32 + 0{,}14$
   	$= 0{,}46$

   Donc la probabilité que l’élève interrogé suive les cours de Breton LV2 est de $0{,}46$. Formulation alternative. Le lycée compte $46\%$ d’élèves suivant les cours de Breton LV2.

4. Le proviseur du lycée affirme que parmi les élèves suivant les cours de Breton LV2, environ $70\%$ de ces élèves suivent les cours d’Anglais LV1. A-t-il raison ? justifier la réponse.

   Réponse attendue

   $P_B(A)$	$= \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
   	$= \dfrac{0{,}32}{0{,}46}$
   	$= 0{,}6956 \cdots$
   	$\simeq 0{,}696 \quad (\text{Arrondi à }10^{-3})$

   Donc le proviseur a raison, parmi les élèves suivant les cours de Breton LV2, environ $70\%$ suivent les cours d’Anglais.

Lois binomiales

Dans un club de sport, Julien joue au Basket. Il sait que lors d’un lancer, sa probabilité de marquer un panier est égale à $0{,}6$.

Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres. On note $X$ la variable aléatoire associant à chaque série de de quatre lancers le nombre de paniers marqués par Julien.

1. Justifier que $X$ suit un loi binomiale dont on précisera les paramètres.

   Réponse attendue

   Les quatre lancers sont indépendants et à chaque lancer, la probabilité de marquer un panier est égale à $0{,}6$. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}6$.

2. Montrer que $P(X = 0) = 0{,}0256$ et interpréter ce résultat.

   Réponse attendue

   $P(X = 0)\;$	$= \dbinom{4}{0} \cdot 0{,}6^0 \cdot 0{,}4^4$
   	$= 1 \cdot 1 \cdot 0{,}4^4$
   	$= 0{,}4^4$
   	$= 0{,}0256$

   Donc la probabilité que Julien rate quatre lancers de suite est égale à $0{,}0256$. Formulation alternative. Sur quatre lancers successifs, Julien a $2{,}56\%$ de chance de rater tous ses lancers.

3. Calculer $P(X \geqslant 1)$ et interpréter le résultat.

   Réponse attendue

   L’événement $\{X \geqslant 1\}$ signifie “Julien marque au moins un panier sur les quatre lancers successifs.”. C’est l’événement contraire de $\{X = 0\}$ signifiant “Julien ne marque aucun panier sur les quatre lancers successifs.”. On a donc :

   $P(X \geqslant 1)\;$	$= 1 - P(X = 0)$
   	$= 1 - 0{,}0256$
   	$= 0{,}9744$

   Donc la probabilité que Julien marque au moins un panier sur quatre lancers successifs est égale à $0{,}9744$. Formulation alternative. Sur quatre lancers successifs, Julien a $97{,}44\%$ de chance de marquer au moins un lancer.

4. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat.

   Réponse attendue

   $E(X)\,$	$= n \cdot p$
   	$= 4 \cdot 0{,}6$
   	$= 2{,}4$

   Donc sur une série de quatre lancers successifs, Julien marque en moyenne $2{,}4$ lancers.

Lois normales

On s’interesse à une espèce de poissons présente dans un lac. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans le lac associe sa taille en cm. Une étude statistique sur ces poissons a montré que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\sigma = 30$. La courbe de densité de la loi de probabilité associée à $X$ est représentée ci-dessous.

1. Par lecture graphique, donner la valeur de $\mu$.

   Réponse attendue

   On trace l’axe de symétrie de la courbe de densité de $X$.

   

   En abscisse on lit $\mu = 150$.

2. On pêche un de ces poissons dans le lac. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre $120$ cm et $150$ cm.

   Réponse attendue

   À la calculatrice on obtient :

   $P(120 \leqslant X \leqslant 150)\;$	$= 0{,}341 \cdots$
   	$\simeq 0{,}34 \quad (\text{Arrondi à }10^{-2})$

3. Un poisson de cette espèce est considéré comme adulte lorsqu’il mesure plus de $120$ cm. On pêche un poisson du lac. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-2}$ d’avoir un poisson adulte.

   Réponse attendue

   À la calculatrice on obtient :

   $P(X \geqslant 120)\;$	$= 0{,}841 \cdots$
   	$\simeq 0{,}84 \quad (\text{Arrondi à }10^{-2})$

4. Déterminer le réel $k$ tel que $P(X \leqslant k) = 0{,}6\,$. Interpréter ce résultat.

   Réponse attendue

   À la calculatrice on obtient :

   	$P(X \leqslant k)\;$	$= 0{,}6$
   $\iff \quad$	$k\;$	$\simeq 158 \quad (\text{Arrondi à l'unité})$

   Donc la probabilité de pêcher un poisson dont la taille est inférieure à environ $158$ cm est de $0{,}6$. Formulation alternative. $60\%$ des poissons pêchés ont une taille inférieure à environ $158$ cm.