Chapitre 2. Entiers non-signés

Activités introductives (révision de seconde)

Se rendre sur la page des activités

Méthodes

• Conversions décimal-binaire-hexadécimal (Diaporama)
• Somme en binaire (Diaporama)

Exercices

Exercice 1. Somme en binaire

Calculer en binaire la somme des entiers $111101|_2$ et $11101|_2$.

Correction

Les retenues sont présentées en rouge au dessus du calcul. $$\begin{align*} \color{red}{111010} \phantom{|_2} & \\ 111101|_2 & \\ +\;\;\;11101|_2 & \\ \hline 1011010|_2 & \\ \end{align*}$$

Exercice 2. Du binaire vers le décimal

Déterminer la représentation décimale des nombres suivants.

1. $10011|_2$
2. $1110101|_2$

Correction du 1.

$$\begin{align*} 10011|_2 &= 2^4 + 2^1 + 2^0 \\ &= 16 + 2 + 1 \\ &= 19 \end{align*}$$

Correction du 2.

$$\begin{align*} 1110101|_2 &= 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^0 \\ &= 64 + 32 + 16 + 4 + 1 \\ &= 117 \end{align*}$$

Exercice 3. Du décimal vers le binaire

Déterminer la représentation binaire des nombres suivants.

1. $48$
2. $79$

Correction du 1.

• Méthode 1. Par soustractions successives $$\begin{align*} 48 &= 32 + 16 \\ &= 2^5 + 2^4 \\ &= 110000|_2 \end{align*}$$

• Méthode 2. Par divisions successives

  Donc $48 = 110000|_2$.

Correction du 2.

• Méthode 1. Par soustractions successives $$\begin{align*} 79 &= 64 + 15 \\ &= 64 + 8 + 7 \\ &= 64 + 8 + 4 + 3 \\ &= 64 + 8 + 4 + 2 + 1 \\ &= 2^6 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 \\ &= 1001111|_2 \end{align*}$$

• Méthode 2. Par divisions successives

  Donc $79 = 1001111|_2$.

Exercice 4. De l’hexadécimal vers le décimal

Déterminer la représentation décimale des nombres suivants.

1. $2\text{e}|_{16}$
2. $1\text{c}3|_{16}$
3. $\text{ff}|_{16}$

Remarque. En informatique, il est d’usage de noter un nombre hexadécimal de la manière suivante en le préfixant de 0x. Par exemple, $2\text{e}|_{16}$ est noté 0x2e.

Correction du 1.

$$\begin{align*} 2\text{e}|_{16} &= 2 \times 16^1 + \text{e} \times 16^0 \\ &= 2 \times 16 + 14 \times 1 \\ &= 32 + 14 \\ &= 46 \end{align*}$$

Correction du 2.

$$\begin{align*} 1\text{c}3|_{16} &= 1 \times 16^2 + \text{c} \times 16^1 + 3 \times 16^0 \\ &= 1 \times 256 + 12 \times 16 + 3 \times 1 \\ &= 256 + 192 + 3 \\ &= 451 \end{align*}$$

Correction du 3.

$$\begin{align*} \text{ff}|_{16} &= \text{f} \times 16^1 + \text{f} \times 16^0 \\ &= 15 \times 16 + 15 \times 1 \\ &= 240 + 15 \\ &= 255 \end{align*}$$ Remarque. Le calcul était ici inutile. En effet, on sait que deux chiffres hexadécimaux correspondent à un octet soit 8 bits. Sur 8 bits, on peut coder $2^8 = 256$ valeurs différentes. Ainsi, pour les nombres entiers non-signés, cela représente les nombres allant de 0 à 255. Ce résultat était attendu car $\text{f}$ est le chiffre hexadécimal le plus élevé.

Exercice 5. Du décimal vers l’hexadécimal

Déterminer la représentation hexadécimale des nombres suivants.

1. $193$
2. $154$
3. $171$
4. $255$

Correction du 1.

Donc $193 = \text{c}1|_{16}$.

Correction du 2.

Donc $154 = 9\text{a}|_{16}$.

Correction du 3.

Donc $222 = \text{d}\text{e}|_{16}$.

Correction du 4.

La réponse est ici immédiate : $255 = \text{ff}|_{16}$ (voir la correction de la question 3. de l’exercice 4.)

Exercice 6. Du binaire vers l’hexadécimal

Déterminer la représentation hexadécimal des nombres suivants.

1. $1011100|_2$
2. $111011|_2$
3. $11110000|_2$

Correction du 1.

On sépare le nombre en demi-octets (4 bits chacun) et on calcule leurs valeurs respectives en décimal puis en hexadécimal à l’aide du tableau suivant. Il est possible de réaliser ces étapes mentalement avec un peu de pratique. Attention, la séparation en demi-octet se fait en partant de la droite ! Ici, on a dû ajouter un zéro à gauche du nombre pour compléter le demi-octet de gauche.

Binaire	0	1	0	1	1	1	0	0
Valeur du bit	8	4	2	1	8	4	2	1
Décimal	$4 + 1 = 5$				$8 + 4 = 12$
Hexadécimal	5				c

Donc $1011100|_2 = 5\text{c}|_{16}$

Correction du 2.

On sépare le nombre en demi-octets (4 bits chacun) et on calcule leurs valeurs respectives en décimal puis en hexadécimal à l’aide du tableau suivant. Il est possible de réaliser ces étapes mentalement avec un peu de pratique. Attention, la séparation en demi-octet se fait en partant de la droite ! Ici, on a dû ajouter deux zéros à gauche du nombre pour compléter le demi-octet de gauche.

Binaire	0	0	1	1	1	0	1	1
Valeur du bit	8	4	2	1	8	4	2	1
Décimal	$2 + 1 = 3$				$8 + 2 + 1 = 11$
Hexadécimal	3				b

Donc $111011|_2 = 3\text{b}|_{16}$

Exercice 7. De l’hexadécimal vers le binaire

Déterminer la représentation binaire des nombres suivants.

1. $\text{a}5|_{16}$
2. $\text{d}7|_{16}$
3. $2\text{f}|_{16}$
4. $\text{fe}|_{16}$

Correction du 1.

On décompose les chiffres hexadécimaux en puissance de 2 :

$$\begin{align*} \text{a} &= 10 & 5 &= 4 + 1\\ &= 8 + 2 & \\ \end{align*}$$

On utilise le tableau suivant (peut être fait mentalement avec un peu de pratique). Chaque chiffre hexadécimal correspond à 4 bits.

Hexadécimal	a				5
Valeur du bit	8	4	2	1	8	4	2	1
Binaire	1	0	1	0	0	1	0	1

Donc $\text{a}5|_{16} = 10100101|_2$.

Correction du 2.

On décompose les chiffres hexadécimaux en puissance de 2 :

$$\begin{align*} \text{d} &= 13 & 7 &= 4 + 2 + 1\\ &= 8 + 4 + 1 & \\ \end{align*}$$

On utilise le tableau suivant (peut être fait mentalement avec un peu de pratique). Chaque chiffre hexadécimal correspond à 4 bits.

Hexadécimal	d				7
Valeur du bit	8	4	2	1	8	4	2	1
Binaire	1	1	0	1	0	1	1	1

Donc $\text{d}7|_{16} = 11010111|_2$.

Correction du 3.

On décompose les chiffres hexadécimaux en puissance de 2 :

$$\begin{align*} & 2 \text{ (Rien à faire)} & \text{f} &= 15 \\ & & &= 8 + 4 + 2 + 1 \\ \end{align*}$$

Remarque. $\text{f}$ étant le chiffre hexadécimal le plus élevé, il correspond au demi octet $1111$. Le calcul précédent est donc inutile.

On utilise le tableau suivant (peut être fait mentalement avec un peu de pratique). Chaque chiffre hexadécimal correspond à 4 bits.

Hexadécimal	2				f
Valeur du bit	8	4	2	1	8	4	2	1
Binaire	0	0	1	0	1	1	1	1

Donc $\text{d}7|_{16} = 11010111|_2$.

Correction du 4.

Pour le nombre $\text{fe}|_{16}$, on peut se passer du tableau.

$$\begin{align*} \text{f}|_{16} &= 1111|_2 \text{ (cf. correction du 3.)} \\ \\ \text{e}|_{16} &= \text{f}|_{16} - 1 \\ &= 1111|_2 - 1 \\ &= 1110|_2 \end{align*}$$

Donc $\text{fe}|_{16} = 11111110|_2$