Chapitre 2. Entiers non-signés

Activités introductives (révision de seconde)

Méthodes

Conversions décimal-binaire-hexadécimal (Diaporama)
Somme en binaire (Diaporama)

Exercices d’application directe

Exercice 1. Somme en binaire

Calculer en binaire la somme des entiers $111101|_2$ et $11101|_2$ .

Correction

Les retenues sont présentées en rouge au dessus du calcul. $\begin{align*} \color{red}{111010} \phantom{|_2} & \\ 111101|_2 & \\ +\;\;\;11101|_2 & \\ \hline 1011010|_2 & \\ \end{align*}$

Exercice 2. Du binaire vers le décimal

Déterminer la représentation décimale des nombres suivants.

$10011|_2$
$1110101|_2$

Correction du 1.

$\begin{align*} 10011|_2 &= 2^4 + 2^1 + 2^0 \\ &= 16 + 2 + 1 \\ &= 19 \end{align*}$

Correction du 2.

$\begin{align*} 1110101|_2 &= 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^0 \\ &= 64 + 32 + 16 + 4 + 1 \\ &= 117 \end{align*}$

Exercice 3. Du décimal vers le binaire

Déterminer la représentation binaire des nombres suivants.

$48$
$79$

Correction du 1.

Méthode 1. Par soustractions successives $\begin{align*} 48 &= 32 + 16 \\ &= 2^5 + 2^4 \\ &= 110000|_2 \end{align*}$
Méthode 2. Par divisions successives
Donc $48 = 110000|_2$ .

Correction du 2.

Méthode 1. Par soustractions successives $\begin{align*} 79 &= 64 + 15 \\ &= 64 + 8 + 7 \\ &= 64 + 8 + 4 + 3 \\ &= 64 + 8 + 4 + 2 + 1 \\ &= 2^6 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 \\ &= 1001111|_2 \end{align*}$
Méthode 2. Par divisions successives
Donc $79 = 1001111|_2$ .

Exercice 4. De l’hexadécimal vers le décimal

Déterminer la représentation décimale des nombres suivants.

$2\text{e}|_{16}$
$1\text{c}3|_{16}$
$\text{ff}|_{16}$

Remarque. En informatique, il est d’usage de noter un nombre hexadécimal de la manière suivante en le préfixant de 0x. Par exemple, $2\text{e}|_{16}$ est noté 0x2e.

Correction du 1.

$\begin{align*} 2\text{e}|_{16} &= 2 \times 16^1 + \text{e} \times 16^0 \\ &= 2 \times 16 + 14 \times 1 \\ &= 32 + 14 \\ &= 46 \end{align*}$

Correction du 2.

$\begin{align*} 1\text{c}3|_{16} &= 1 \times 16^2 + \text{c} \times 16^1 + 3 \times 16^0 \\ &= 1 \times 256 + 12 \times 16 + 3 \times 1 \\ &= 256 + 192 + 3 \\ &= 451 \end{align*}$

Correction du 3.

$\begin{align*} \text{ff}|_{16} &= \text{f} \times 16^1 + \text{f} \times 16^0 \\ &= 15 \times 16 + 15 \times 1 \\ &= 240 + 15 \\ &= 255 \end{align*}$ Remarque. Le calcul était ici inutile. En effet, on sait que deux chiffres hexadécimaux correspondent à un octet soit 8 bits. Sur 8 bits, on peut coder $2^8 = 256$ valeurs différentes. Ainsi, pour les nombres entiers non-signés, cela représente les nombres allant de 0 à 255. Ce résultat était attendu car $\text{f}$ est le chiffre hexadécimal le plus élevé.

Exercice 5. Du décimal vers l’hexadécimal

Déterminer la représentation hexadécimale des nombres suivants.

$193$
$154$
$171$
$255$

Correction du 1.

Donc $193 = \text{c}1|_{16}$ .

Correction du 2.

Donc $154 = 9\text{a}|_{16}$ .

Correction du 3.

Donc $171 = \text{d}\text{e}|_{16}$ .

Correction du 4.

La réponse est ici immédiate : $255 = \text{ff}|_{16}$ (voir la correction de la question 3. de l’exercice 4.)

Exercice 6. Du binaire vers l’hexadécimal

Déterminer la représentation hexadécimal des nombres suivants.

$1011100|_2$
$111011|_2$
$11110000|_2$

Correction du 1.

Pour ce calcul, il est utile d’avoir en tête le tableau suivant des quatre premières puissances de deux.

$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
$8$	$4$	$2$	$1$

On commence par séparer le nombre en demi-octets (4 bits chacun) et on calcule leurs valeurs respectives en décimal puis en hexadécimal.

$\begin{align*} 101|_2 &= 4 + 1 & 1100|_2 &= 8 + 4 \\ &= 5 & &= 12 \\ &= 5|_{16} & &= \text{c}|_{16} \end{align*}$

Donc $1011100|_2 = 5\text{c}|_{16}$

Remarque. Le nombre binaire de départ était codé sur 7 bits. On l’a séparé en demi-octets en partant de la droite formant ainsi un groupe de 3 bits et un groupe de 4 bits.

Correction du 2.

Pour ce calcul, il est utile d’avoir en tête le tableau suivant des quatre premières puissances de deux.

$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
$8$	$4$	$2$	$1$

On commence par séparer le nombre en demi-octets (4 bits chacun) et on calcule leurs valeurs respectives en décimal puis en hexadécimal.

$\begin{align*} 11|_2 &= 2 + 1 & 1011|_2 &= 8 + 2 + 1 \\ &= 3 & &= 11 \\ &= 3|_{16} & &= \text{b}|_{16} \end{align*}$

Donc $111011|_2 = 3\text{b}|_{16}$

Remarque. Le nombre binaire de départ était codé sur 6 bits. On l’a séparé en demi-octets en partant de la droite formant ainsi un groupe de 2 bits et un groupe de 4 bits.

Correction du 3.

Pour ce nombre, la réponse est immédiate. En effet sur 4 bits, $1111|_2$ est le nombre maximum possible. Donc $1111|_2 = 15 = \text{f}|_{16}$ . Par ailleurs, $0000|_2 = 0 = 0|_{16}$ .

Donc $11110000|_2 = \text{f}0|_{16}$

Exercice 7. De l’hexadécimal vers le binaire

Déterminer la représentation binaire des nombres suivants.

$\text{a}5|_{16}$
$\text{d}7|_{16}$
$2\text{f}|_{16}$
$\text{fe}|_{16}$

Correction du 1.

Pour ce calcul, il est utile d’avoir en tête le tableau suivant des quatre premières puissances de deux.

$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
$8$	$4$	$2$	$1$

On décompose les chiffres hexadécimaux en puissance de 2 puis on les convertit en binaire.

$\begin{align*} \text{a}|_{16} &= 10 & 5|_{16} &= 5 \\ &= 8 + 2 & &= 4 + 1 \\ &= 1010|_2 & &= 0101|_2 \\ \end{align*}$

Donc $\text{a}5|_{16} = 10100101|_2$ .

Correction du 2.

Pour ce calcul, il est utile d’avoir en tête le tableau suivant des quatre premières puissances de deux.

$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
$8$	$4$	$2$	$1$

On décompose les chiffres hexadécimaux en puissance de 2 puis on les convertit en binaire.

$\begin{align*} \text{d}|_{16} &= 13 & 7|_{16} &= 7 \\ &= 8 + 4 + 1 & &= 4 + 2 + 1 \\ &= 1101|_2 & &= 0111|_2 \\ \end{align*}$

Donc $\text{d}7|_{16} = 11010111|_2$ .

Correction du 3.

On décompose les chiffres hexadécimaux en puissance de 2 : $\begin{align*} 2|_{16} &= 2 & \text{f}|_{16} &= 15 \\ &= 10|_2 & &= 8 + 4 + 2 + 1 \\ & & &= 1111|_2 \\ \end{align*}$ Remarque. $\text{f}$ étant le chiffre hexadécimal le plus élevé, il correspond au demi octet $1111|_2$ . Le calcul précédent était donc inutile.

Donc $2\text{f}|_{16} = 101111|_2$ .

Correction du 4.

Pour le nombre $\text{fe}|_{16}$ , on peut se passer de l’intermédiaire décimal.

$\begin{align*} \text{f}|_{16} &= 1111|_2 \text{ (cf. correction du 3.)} \\ \\ \text{e}|_{16} &= \text{f}|_{16} - 1 \\ &= 1111|_2 - 1 \\ &= 1110|_2 \end{align*}$

Donc $\text{fe}|_{16} = 11111110|_2$

Exercices bilan

Exercice 8. Couleurs Web

Les couleurs Web permettent de définir l’apparence d’une page Web (par exemple la couleur de ses titres, la couleur de son arrière plan). Dans le code de la page Web, on peut définir les couleurs en précisant un nom ou un code numérique exprimé en décimal ou en hexadécimal.

On donne ci dessous le nom et les codes utilisés pour la couleur rouge dans le langage CSS qui permet de définir l’apparence d’une page Web.

Nom	Code décimal	Code hexadécimal
`red`	`rgb(255,0,0)`	`#FF0000`

D’après le code hexadécimal de la couleur rouge, sur combien d’octets est codée une couleur Web ?

réponse attendue

Le code hexadécimal #FF0000 est composé de trois paires de chiffres hexadécimaux FF, 00 et 00 soit trois octets.
En déduire le nombre de couleurs Web disponibles.

réponse attendue

Trois octets correspondent à $3 \times 8 = 24 \text{ bits}$ . Ainsi le nombre de couleurs Web disponibles est $2^{24} = 16\,777\,216$ . On parle par convention de 16 millions de couleurs (comprendre au moins 16 millions).

Déterminer les codes binaire et hexadécimal des couleurs vert (green) et bleu (blue), noir (black) et rose (pink). Pour cela rendez-vous sur le site suivant.

Convertisseur/Afficheur de couleur Web

réponse attendue

Nom	Code décimal	Code hexadécimal
`red`	`rgb(255,0,0)`	`#FF0000`
`green`	`rgb(0,128,0)`	`#008000`
`blue`	`rgb(0,0,255)`	`#0000FF`
`black`	`rgb(0,0,0)`	`#000000`
`pink`	`rgb(255,192,203)`	`#FFC0CB`

Que représente chacun des trois octets d’un code de couleur Web ?

Réponse attendu

Chaque octet représente l’intensité d’une des trois couleurs primaires du système additif : Rouge, Vert, Bleu (RVB) en français ou Red, Green, Blue (RGB) en anglais. L’intensité de chaque couleur primaire étant codée sur un octet, elle peut prendre $256$ valeurs entre $0$ et $255$ .
Le nom de couleur Web green est associée au code décimal rgb(0,128,0). Ce n’est donc pas la couleur primaire du canal vert car l’intensité pour ce canal n’est pas maximum.

À l’aide du convertisseur de couleur, déterminer le nom de couleur Web de la couleur primaire du canal vert.

Réponse attendue

La couleur primaire du canal vert a pour code décimal rgb(0,255,0) (intensité du canal vert maximum) soit #00FF00 en hexadécimal. En entrant ce code dans le convertisseur, on obtient le nom de couleur lime qui signifie “citron vert” en anglais. lime désigne donc le vert primaire pour les couleurs Web.

Dans le système additif, le blanc est obtenu en mélangeant les trois couleurs primaires.

Sans consulter le convertisseur en ligne, en déduire les codes décimal et hexadécimal du blanc. Vérifiez ensuite votre réponse.

Réponse attendue

Pour obtenir le blanc, il suffit de choisir l’intensité maximum pour les trois couleurs primaire. On en déduit :

Nom Code décimal Code hexadécimal

white rgb(255,255,255) #FFFFFF

En vous aidant de la figure, deviner les codes décimal et hexadécimal de la couleur magenta. Retourner ensuite sur le convertisseur pour vérifier votre réponse. Faire de même pour les couleurs cyan et jaune.

réponse attendue

Le magenta est obtenu en mélangeant le bleu et le rouge mais pas le vert. Pour obtenir le magenta, il suffit donc de choisir :

l’intensité maximum pour le bleu et le rouge ;
l’intensité minimum pour le vert.

On en déduit :

Nom de couleur Web	Code décimal	Code hexadécimal
`magenta`	`rgb(255,0,255)`	`#FF00FF`

En choisissant le nom magenta dans le convertisseur en ligne on n’obtient bien les codes précédents.

De même on obtient :

Nom de couleur Web	Code décimal	Code hexadécimal
`cyan`	`rgb(0,255,255)`	`#00FFFF`
`yellow`	`rgb(255,255,000)`	`#FFFF00`

La couleur Web khaki a les codes suivants.

Code décimal Code hexadécimal

rgb(240,230,140) #F0E68C

Déterminer par le calcul à la main sur le cahier la représentation binaire du code de la couleur khaki. Est-ce que le code obtenu est pratique à utiliser pour un être humain ?

Réponse attendue

Le plus simple est d’obtenir le code binaire à partir du code hexadécimal. On convertit en binaire chaque chiffre hexadécimal.

$\begin{align*} \text{F}|_{16} &= 1111|_2 & 0|_{16} &= 0000|_2 \\ \\ \text{E}|_{16} &= 14 & 6|_{16} &= 6 \\ &= 8 + 4 + 2 & &= 4 + 2 \\ &= 1110|_2 & &= 0110|_2 \\ \\ 8|_{16} &= 8 & \text{C}|_{16} &= 12 \\ &= 1000|_2 & &= 8 + 4 \\ & & &= 1100|_2 \\ \end{align*}$

On en déduit : $\begin{equation*} \text{F}0\text{E}68\text{C}|_{16} = 111100001110011010001100|_2 \end{equation*}$ Ce n’est clairement pas pratique pour un être humain d’utiliser le code binaire pour les couleurs Web !

Exercice 9. Adresses IP

Les adresse IP (pour Internet Protocol) permettent d’identifier de manière unique des ordinateurs et périphériques sur un même réseau utilisant l’Internet Protocol.

Voici un exemple d’adresse IP selon l’ancien standard IPv4 donnée décimal

142.250.74.238

Voici un autre exemple d’adresse IPv4 donnée cette fois-ci en hexadécimal. Remarquez que les paires de chiffres hexadécimaux sont séparés par des points.

AC.10.FE.01

Sur combien d’octets est codée un adresse IPv4. En déduire le nombre d’adresses IPv4 différentes possibles.

Réponse attendue

Chaque paire de chiffres hexadécimals correspond à un octet. Une adresse IPv4 est donc codée sur 4 octets soit $4 \times 8 = 32$ bits. Il y a donc $2^{32} = 4\,294\,967\,296$ soit environ $4{,}3$ milliards d’adresses.
Convertir en décimal l’adresse IPv4 AC.10.FE.01. Pour cela, il faut convertir séparément chaque octet.

Réponse attendue

$\begin{align*} \text{AC}|_{16} &= \text{A} \times 16 + \text{C} \times 1 \\ &= 10 \times 16 + 12 \\ &= 172 \\ \\ 10|_{16} &= 1 \times 16 + 0 \times 1 \\ &= 16 \\ \\ \text{FE}|_{16} &= \text{F} \times 16 + \text{E} \times 1 \\ &= 15 \times 16 + 14 \\ &= 254 \\ \\ 01|_{16} &= 1 \end{align*}$

Remarque. On pouvait deviner immédiatement que $\text{FE}|_{16} = 254$ . En effet $\text{FE}|_{16} = \text{FF}|_{16} - 1$ et $\text{FF}|_{16} = 255$ .

Donc l’adresse IP AC.10.FE.01 a pour représentation décimale 172.16.254.1.
On s’intéresse maintenant à l’adresse IPv4 142.250.74.238.
1. Qui se cache derrière cette adresse ? À quel lieu cette adresse est-elle associée ?
  
  Réponse attendue
  
  En entrant directement cette adresse dans la barre d’adresse d’un navigateur Web on atterit sur la page d’accueil du de Google dont l’adresse symbolique est www.google.com.
  
  La page du site LookIP.net dédiée à cette adresse indique le lieu associé aux État-Unis qui correspond à la localisation de serveurs de Google.
2. Convertir cette adresse en hexadécimal.
  Réponse attendue
  
  On traite séparément chaque octet. On procède par division successives.
  - octet 1. $142$
    
    Donc $142 = 8\text{e}|_{16}$ .
  - octet 2. $250$
    
    Pour cet octet on pouvais remarquer que or . Donc : $\begin{align*} 250 &= \text{ff}|_{16} - 5 \\ &= \text{fa}|_{16} \\ \end{align*}$
  - octet 3. $74$
    
    Donc $74 = 4\text{a}|_{16}$ .
    
    Cet octet ayant une valeur relativement faible, on pouvait simplement poser le calcul comme suit :
    
    $\begin{align*} 74 &= 64 + 10 \\ &= 4 \times 16 + 10 \\ &= 4\text{a}|_{16} \\ \end{align*}$
  - octet 4. 238
    
    Donc $238 = \text{ee}|_{16}$ .
  Donc l’adresse 142.250.74.238 s’écrit en hexadécimal 8E.FA.4A.EE.
Le nombre d’adresses IPv4 est devenue insuffisant en 2011 : toutes les adresses encore non utilisées ont été distribuées aux cinq registres Internet Régionaux qui se répartissent les adresses à l’échelle mondiale. Avec l’explosion de la croissance d’Internet et l’Internet des objets (IoT pour Internet of Things), le nombre d’adresses disponibles s’est rapidement épuisé. Pour remédier à la situation, l’IETF a publié une nouvelle norme IPv6. Avec cette nouvelle norme les adresses IP sont codées sur 128 bits. IPv6 remplace progressivement IPv4. En 2022, le taux d’implémentation en France était de plus de 75%, à l’échelle mondiale il était estimé à environ 40%.
1. Sur combien d’octets est codée une adresse IPv6 ?
  
  Réponse attendue
  
  Une adresse IPv6 est codée sur 128 bits soit $128/8 = 16$ octets.
2. Combien d’adresses IPv6 différentes sont possibles ?
  
  Réponse attendue
  
  Une adresse IPv6 est codée sur 128 bits. Donc il y a $2^{128} \simeq 3{,}4 \times 10^{38}$ adresses IPv6 différentes possibles. Ce nombre astronomique correspond à cent millions de fois le nombre de bactéries sur Terre. Autrement dit chaque bactérie terrienne pourraît avoir cent millions d’appareils connectés. Une autre façon d’envisager ce nombre est de considérer que le corps humain contient environ $10^{28}$ atomes. Le nombre d’humains étant proche de 10 milliards, cela signifie que chaque humain pourraît posséder autant d’objets connectés qu’il y a d’atomes dans son propre corps !
  
  Conclusion : ça devrait suffire !